نظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس أو مبرهنة فيثاغورس هي علاقة أساسية في الهندسة الإقليدية بين أضلاع المثلث قائم الزّاوية. تنص على أن مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة مساوٍ لمربع طول الوتر. يُمكن كتابة النّظرية كمعادلة تربط بين أطوال أضلاع المثلث ا ب جـ. سميت هذه المبرهنة هكذا نسبةً إلى العالم فيثاغورس الذي كان رياضياً وفيلسوفاً وعالم فلك في اليونان القديمة

• نظرية فيثاغورس المباشرة

وهي الشكل الأكثر شهرة لنظرية فيثاغورس:
« في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة. »

في مثلث ABC قائم الزاوية في C، أي أن [AB] هو الوتر، نضع AB=c و AC=b و BC=a. لدينا:
${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\,}$
أو
${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$
تمكن نظرية فيثاغورس من حساب طول أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية بمعرفة طولي الضلعين الآخرين. مثلا: إذا كان b=3 و a=4 فإن
${\displaystyle a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=25=c^{2}\,}$
ومنه ${\displaystyle c=5\,}$.
أي ثلاثة أعداد صحيحة تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية -مثل (3، 4، 5)- تُكون ثلاثي فيثاغورسي

• نظرية فيثاغورس العكسيه

نص نظرية فيثاغورس العكسية (العبارة 47 من الجزء الأول من كتاب العناصر لإقليدس):
« في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، والضلع الأطول هو الوتر. »
نظرية فيثاغورس هي خاصية مميزة للمثلث القائم الزاوية. بتعبير آخر:
« في مثلث ABC، إذا كان AC²+BC²=AB² فإن هذا المثلث قائم الزاوية في C.».

• توضيح النظريه

رأى فيثاغورس أن عدد من المثلثات القائمة الزاوية والتي تتألف من أضلاع أطوالها (3، 4، 5) أو مضاعفاتها مثل (6، 8، 10) و(9،12،15) إلخ تنطبق عليها النظريّة، وهنا وضع فيثاغورس أول طرح لنظريته وهو أن أطوال أضلاع أي مثلث قائم هي (3 ، 4 ، 5) أو مضاعفاتها، واستنتج فيثاغورس أن مربع طول الضلع الكبير المقابل للزاوية القائمة في مثلث أطوال أضلاعه (3، 4، 5) تساوي العدد الناتج من جمع مربعي طولي الضلعين الباقيين أي أنّ (9+16 = 25)، وإذا ما أردنا كتابة النظريّة بالرموز لمثلث قائم الزاوية في (ب)، فإنّ النظريّة: (أ جـ) ^2 = ((أ ب) ^2 + (ب جـ) ^2)، ونورد هنا مثال لتطبيق على النظريّة مثالاً توضيحياً: أرسم مثلثاً قائم الزاوية وطول ضلعي القائمة فيه (6 سم ، 8 سم)على الترتيب ، جد طول الضلع الثالث (الوتر)؟

الحل:

باستخدام نظريّة فيثاغورس فإنّ:

• (أ جـ)^2 = ((أ ب) ^2 + (ب جـ) ^2).
• (أ جـ)^2 = ((6) ^2 + (8) ^2).
• (أ جـ)^2 = ((36) + (64).
• (أ جـ)^2 = (100).
• (أ جـ) = (10).

في الختام نود الإشارة إلى أنّ العلماء ما زالوا يبتكرون طرق جديدة لبرهنة إثبات صحة هذه النظريّة، وإذا ما ظهرت طرق حديثة لبرهنة النظريّة قد تحمل معها تحديثات على النظريّة ومجالات تطبيقها في حياتنا العلمية والعملية.



المراجع :
1- الموسوعه الحره
2- موضوع


عمل الطالبه : رزان الغامدي